پاسخ فعالیت صفحه 88 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 88 - فعالیت 2 مفهوم **هم‌نهشتی مثلث‌ها** (Congruence) به این معنی است که تمام اجزای متناظر دو مثلث (یعنی سه ضلع و سه زاویه) با هم برابرند. ترتیب نوشتن نام مثلث‌ها در عبارت هم‌نهشتی ($\triangle ABC \cong \triangle GHF$) بسیار مهم است، زیرا **تناظر** بین رأس‌ها را مشخص می‌کند: * رأس اول ($A$) متناظر با رأس اول ($G$) است. * رأس دوم ($B$) متناظر با رأس دوم ($H$) است. * رأس سوم ($C$) متناظر با رأس سوم ($F$) است. با توجه به این تناظر و علامت‌های روی شکل، تساوی اجزای متناظر را کامل می‌کنیم: ### **تساوی زاویه‌ها:** زاویه‌ی متناظر با $\hat{A}$ (رأس اول) برابر است با $\hat{G}$ (رأس اول): $$\mathbf{\hat{A} = \hat{G}}$$ زاویه‌ی متناظر با $\hat{B}$ (رأس دوم) برابر است با $\hat{H}$ (رأس دوم): $$\mathbf{\hat{B} = \hat{H}}$$ زاویه‌ی متناظر با $\hat{G}$ (رأس اول) برابر است با $\hat{A}$ (رأس اول): $$\mathbf{\hat{C} = \hat{F}}$$ (از روی تناظر $C$ با $F$) ### **تساوی ضلع‌ها:** ضلع متناظر با $\overline{BC}$ (رأس‌های دوم و سوم) برابر است با $\overline{HF}$ (رأس‌های دوم و سوم): $$\mathbf{\overline{BC} = \overline{HF}}$$ ضلع متناظر با $\overline{HF}$ (رأس‌های دوم و سوم) برابر است با $\overline{BC}$ (رأس‌های دوم و سوم): $$\mathbf{\overline{AB} = \overline{GH}}$$ (از روی تناظر $A$ با $G$ و $B$ با $H$) ضلع متناظر با $\overline{FG}$ (رأس‌های سوم و اول) برابر است با $\overline{CA}$ (رأس‌های سوم و اول): $$\mathbf{\overline{CA} = \overline{FG}}$$ **تذکر:** می‌توانید تناظر را از روی علائم هندسی روی شکل نیز تأیید کنید. مثلاً زاویه‌ی $\hat{A}$ (رنگ زرد و یک کمان) متناظر با $\hat{G}$ (رنگ زرد و یک کمان) است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 88 - فعالیت 3 هدف این فعالیت نشان دادن این است که وقتی دو شکل با هم **هم‌نهشت** هستند، حتماً می‌توان یکی را با استفاده از **تبدیلات هندسی** (انتقال، دوران، بازتاب) بر دیگری منطبق کرد. ### **۱. پیدا کردن تناظر بین رئوس:** ابتدا اجزای متناظر دو مثلث را بر اساس علامت‌های روی شکل پیدا می‌کنیم: * ضلع $\overline{XY} = 6 \text{ cm}$ متناظر با $\overline{MN} = 6 \text{ cm}$ است. * ضلع $\overline{XZ} = 4 \text{ cm}$ متناظر با $\overline{LM} = 4 \text{ cm}$ است. * ضلع $\overline{YZ} = 9 \text{ cm}$ متناظر با $\overline{LN} = 9 \text{ cm}$ است. از تساوی اضلاع، تناظر رئوس به دست می‌آید: * رأس $X$ (بین اضلاع $6$ و $4$) متناظر با رأس $M$ (بین اضلاع $6$ و $4$) است. (همچنین $\hat{X} = \hat{M}$، هر دو دو کمان آبی دارند.) * رأس $Z$ (بین اضلاع $4$ و $9$) متناظر با رأس $L$ (بین اضلاع $4$ و $9$) است. (در واقع تناظر $Z$ با $L$ نیست، بلکه $Z$ با $N$ است: $\overline{XZ}$ با $\overline{LM}$ و $\overline{YZ}$ با $\overline{LN}$، پس $Z$ مشترک در دو ضلع $\overline{XZ}$ و $\overline{YZ}$ است و $L$ در دو ضلع $\overline{LM}$ و $\overline{LN}$ مشترک است. $N$ هم در $\overline{MN}$ و $\overline{LN}$ مشترک است. با بررسی مجدد علائم متوجه می‌شویم: * $\hat{X} = \hat{M}$ (دو کمان آبی) * $\hat{Z} = \hat{N}$ (یک کمان قرمز) * بنابراین $\hat{Y} = \hat{L}$ (زاویه‌ی باقی‌مانده) **تناظر صحیح:** $\triangle XYZ \cong \triangle MLN$ ### **۲. راه حل برای انطباق (ترکیب تبدیل‌ها):** چون مثلث $XYZ$ باید بر $MLN$ منطبق شود (توجه کنید $LMN$ در صورت سوال آمده است اما تناظر $MLN$ است)، یعنی شکل‌ها قرینه‌ی یکدیگر نیستند و فقط جابه‌جا شده‌اند (انتقال و دوران). **راه حل پیشنهادی (دوران و انتقال):** * **گام ۱: انتقال (Translation):** ابتدا مثلث $XYZ$ را با یک **انتقال**، جابه‌جا می‌کنیم تا رأس $X$ دقیقاً بر روی رأس متناظرش، یعنی $M$، قرار بگیرد. * **گام ۲: دوران (Rotation):** حالا که $X$ بر $M$ منطبق شده است، مثلث $XYZ'$ (شکل جدید) را حول نقطه‌ی $M$ **دوران** می‌دهیم تا ضلع $\overline{XZ}$ دقیقاً بر روی ضلع $\overline{ML}$ (یا $LM$) قرار بگیرد. * **گام ۳: بررسی:** چون طول ضلع $\overline{XZ} = \overline{LM} = 4 \text{ cm}$ و زاویه‌ی بین دو ضلع ($\hat{X}$ و $\hat{M}$) برابر است و $\overline{XY} = \overline{MN} = 6 \text{ cm}$، بنابراین در این حالت ضلع $\overline{XY}$ نیز بر $\overline{MN}$ منطبق می‌شود و در نتیجه رأس $Y$ بر $N$ و رأس $Z$ بر $L$ منطبق شده و دو مثلث کاملاً روی هم می‌افتند. **نکته:** اگر مثلث $LMN$ حاصل یک بازتاب (قرینه) از $XYZ$ بود، به جای دوران باید از بازتاب استفاده می‌کردیم.